無限に発散、それとも収束!？級数問題。

問題と答え
考え方
おまけ

問題と答え

こんにちは。

オンラインスタディーのはぴまねです。

本日は級数の和についての問題を解きたいと思います。

問①： $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ は無限大に発散するか？

問②： $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ は無限大に発散するか？

答：①は発散します。②は発散しません。

①はどんどん小さくなるので発散しなさそうですが、、実は発散します。

②は①が発散するならば、同じく発散するのかと思いきや、こちらは発散しません。

意外ですね〜。

考え方

式変形して不等式。積分を利用して、図形的に考える。

など様々な考え方ができますが、

今回は式変形をおこなって、問について考えます。

問①： $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}$ の場合

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} +\frac{1}{8}$ ...

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8}$ ...

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} +$ ...

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq 1 +\lim_{k \to \infty} \frac{k}{2} \rightarrow \infty$

少し長くなりましたが、

不等式を利用するために右辺を少し小さい値で式変形する点がポイントです。

問②： $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ の場合

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +$ ...

$\displaystyle \lt 1 + (\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}) +$ ... $\displaystyle + (\frac{1}{n-1}\cdot\frac{1}{n}) | {n \to \infty}$

$\displaystyle = 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) +$ ... $\displaystyle + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) | {n \to \infty}$