無限に発散、それとも収束!？級数問題。

 

問題と答え

こんにちは。

オンラインスタディーのはぴまねです。

本日は級数の和についての問題を解きたいと思います。

問①： \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n} は無限大に発散するか？

問②： \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2} は無限大に発散するか？

答：①は発散します。②は発散しません。

 

①はどんどん小さくなるので発散しなさそうですが、、実は発散します。

②は①が発散するならば、同じく発散するのかと思いきや、こちらは発散しません。

意外ですね〜。

 

考え方

式変形して不等式。積分を利用して、図形的に考える。

など様々な考え方ができますが、

今回は式変形をおこなって、問について考えます。

問①： \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n} の場合

\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}  = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4}   +  \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} +\frac{1}{8} ...

\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} ...

\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}  + \frac{1}{2}  +...

\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\geq 1 +\lim_{k \to \infty} \frac{k}{2} \rightarrow \infty

少し長くなりましたが、

不等式を利用するために右辺を少し小さい値で式変形する点がポイントです。

 

問②： \displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2} の場合

\displaystyle  \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}  = \frac{1}{1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ...

\displaystyle \lt 1 + (\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}) + ... \displaystyle + (\frac{1}{n-1}\cdot\frac{1}{n}) | {n \to \infty}

\displaystyle = 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... \displaystyle + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) | {n \to \infty}

\displaystyle = 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 2

 

発散しないことを証明したいので、右辺を少し大きい値にする必要があります。

級数和を解く場合は、掛け算を引き算の形にするテクニックが非常に有効ですので、
ぜひ覚えてみてください。

おまけ

さて、今回は級数和についての問題を取り扱いました。

いわゆるゼータ関数というものですね。

ゼータ関数： \displaystyle  \zeta(k,p) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^p}

p=1の時は発散し、p>2の自然数の場合は収束します。

ご参考までに、縦軸がゼータ関数のグラフを共有します。

p=1の場合

p=2の場合

p=3の場合

これをみると、p=1は右肩上がりでゼータ関数が上昇していますが、
p=2,3の場合は明らかに収束していることがわかります。

「バーゼル問題」でググっるとp=2の場合の収束値を計算することができますので、
気になる方は調べてみて下さい。

ここまで、記事を読んで頂きありがとうございます。

 

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以上、はぴまねでした！

ドップラー効果が起きる原因は２つのみ！

 

こんばんは～オンラインスタディーのヒママルです！

 

今日は、ドップラー効果について取り扱いたいと思います。

 

 

ドップラー効果とは？

観測者の聞く振動数が変化してしまう現象の事です。

これは、覚えておいてくださいね♫

日常生活の中で体験する代表例は２つあります。

 

  • 救急車が観測者の前を通り過ぎるとき⇒（音源が動く）

救急車の「ピーポー、ピーポー♫」が

近づいてきたときは、「ピィポォ、ピィポォ♫」と高く聞こえる。

遠ざかるときは、「ぺーポー、ぺーポー♫」と低く聞こえる。

擬音語で伝わったかな？（笑）

 

  • 電車の乗客が踏切の警笛音を聞くとき⇒（観測者が動く）

「カン、カン」という踏切の警笛音は、

電車が近づくとき乗客は、「キン、キン♫」と高く聞こえる。

電車が遠ざかるとき乗客は、「コン、コン♫」と低く聞こえる。

 

ですよね？

 

ドップラー効果が起きる原因は２つのみ！

それは、ズバリ

  • 一つ目は観測者が観測する音の波長が変化によるもの

どんなときに起きるの？

音源が観測者に対して動くときです。

 

なぜ音源が動いたら、観測される波長が変化するの？

下がイメージ図です。音源が動かない場合と動いた場合を示しています。

音源から観測者まで340m離れているとします。音速は340ｍ/sとします。（温度によって、若干変わりますが...）

すると、音源から出た音は1s後に観測者に届きます。

また、緑の縦線は波の山を示し、音源と観測者の間に５個の波(5Hz)があると仮定します。

それでは、音が出ると同時に音源が100m/sで観測者に近づくとどうなると思いますか？

音速は変化しませんよね？

なぜなら、100m/sで動く車から音を鳴らしたからといって、単純に速度の合成から440m/sにならないからです。

変化するのは、波長です。

音源が動かない場合の波長は、340m中に5個の波があるので、340/5=68m

音源が動いている場合の波長は、240m中に5個の波があるので、240/5=48m

つまり、イメージ図で分かるように波が圧縮（音源が近づく）されたり、引く伸ばされ（音源が遠ざかる）ということです。

 

なぜ波長が変化すると振動数が変化するの？

波長のみが変化し、音源自体の音速は変化しないからである！

下の音速の式は、基本なので必ず覚えてください！

（重要）c = f＊λ（c:音速、f:振動数、λ:音の波長）・・・式➀

音源が動かない場合は、5Hzです。

音源が動く場合は、cは固定でλが68m→48mと小さくなるので、式➀に代入するとｆは

340[m/s] / 48[m] = 7.08Hzと高くなります。

 

 

  • 二つ目は観測者が観測する音速が変化することによるもの

どんな時に起きるの？

観測者が音源に対して動くときです。

 

なぜ観測者が動いたら、観測される音速が変化するの？

下がイメージ図です。観測者が動かない場合と動いた場合を示しています。

観測者が音源に100ｍ/sで近づくと、音源が100m/s + 340m/s = 440ｍ/sの音速を出しているように感じるからです。

 
なぜ観測される音速が変化すると、観測される振動数が変化するの？
観測した音速のみが変化し、音源自体の波長は変化しないからである！
これも同様に、音速の式を使います。
（重要）c = f＊λ（c:音速、f:音源が発生する振動数、λ:音の波長）・・・➀

観測者が動かない場合は、5Hzです。

観測者が動く場合は、λが固定でcが340m/s→440ｍ/sとなるので、式➀に代入するとｆは

440[m/s] / 68[m] = 6.5Hzと高くなります。

 

 

おわりに

みなさん、気づかれた人もいると思いますが、両パターンとも相対的には、同じ運動しています。

しかし、観測される振動数が両パターンで若干違いましたよね？？？

これが、物理の面白い所だと思えますよね♫

 

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この記事を読んで頂きありがとうございます。🌸

 

 

クラスに同じ誕生日の人がいる確率は◯◯%以上！？

 

問題と答え

こんにちは。

オンラインスタディーのはぴまねです。

本日は数学の確率の問題で、直感と実際の答えが全く異なる問題を取り扱いたいと
思います。

問：30人のクラスで同じ誕生日の人がいる確率は何％か？

答：68%です。68%の確率で同じ誕生日の人がいます。

どうでしょうか？
意外ではないですか？

私は30%くらいかなーと想像していたのですが、
計算してみるとなんと68%もあったのです。（びっくり）

ということで、考え方　をご紹介します。

 

考え方

考え方として、いきなり同じ誕生日の人は？と考えると難しいです。

問題文で、「少なくとも１つ以上◯◯がある確率は？」という問題に対しては、余事象を考えると簡単です。

⇒簡単に言うと、まず「一つも◯◯でない確率は？」を求めるということです。

 

以下の手順で考えると、簡単に答えを求めることができます。

 

➀まずはクラスで全員が異なる誕生日である確率を求める

1年は365日なので、

式①：「365/365 × 364/365 × 363/365 ... (365-29)/365」

で求めることができます。

　　　　　　　　⇩

②その確率の余事象を求める

「1 - (全員が異なる誕生日の確率) = (少なくとも1組が同じ誕生日であるの確率)」
となります。

よって、(少なくとも1組が同じ誕生日であるの確率) = 「1 - 式①」です。

 

真面目に計算すると日が暮れるので、計算機を使うと答えは

0.681となります。つまり、68%です。

おまけ

ちなみに、プログラミングを使って、クラスが1人〜60人までの
同じ誕生日の人がいる確率を視覚化してみました。

クラスで自分と誕生日が同じ人がいる確率　（横軸：人数　縦軸：確率）

ちなみに、60人クラスだと確率は99%となっており、ほぼ同じ誕生日の人が
いる計算となります。

1年は365日しかないのに不思議ですね。

 

ここまで、記事を読んで頂きありがとうございます。

 

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以上、はぴまねでした！

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